前言
| 简写形式 | 英文全称 | 中文含义 | 核心使用场景 |
|---|---|---|---|
| Th. / Theorem | Theorem | 定理 | 经过严格证明的核心结论，是数学推理的核心依据。 |
| def. / Def. | Definition | 定义 | 明确数学概念的含义，是后续推理的基础。 |
| prop. / Prop. | Proposition | 命题 | 需证明但重要性低于定理的陈述，常作为定理的铺垫。 |
| cor. / Cor. | Corollary | 推论 | 由定理或命题直接推导得出，无需额外复杂证明。 |
| lem. / Lem. | Lemma | 引理 | 为证明定理而预先证明的辅助结论，简化核心证明过程。 |
| rem. / Rem. | Remark | 注释/备注 | 对概念、定理或推导过程的补充说明，不影响核心逻辑。 |
| annot. | Annotation | 注解 | 详细的注释性说明，不如 rem. 常用，多见于复杂概念的补充解释。 |
| fn. / Fn. | Footnote | 脚注 | 页面底部的补充注释，用于补充正文未展开的细节。 |
| e.g. | Exempli Gratia | 例如 | 举例说明概念、定理或结论的应用场景。 |
| i.e. | Id Est | 即/也就是 | 对前文内容的进一步明确或同义替换。 |
| w.r.t. | With Respect To | 关于 | 用于说明分析对象与某个变量、概念的关联。 |
| s.t. | Such That | 使得 | 限定条件，明确结论成立的前提。 |
| iff | If And Only If | 当且仅当 | 表示充要条件，即前后两个陈述相互推导成立。 |
| fig. / Fig. | Figure | 图 | 指代论文、教材中的图表编号，用于引用可视化内容。 |
| sec. / Sec. | Section | 节 | 引用书籍、论文的章节部分，方便定位相关内容。 |
| etc. | Et Cetera | 等等 | 用于列举未尽的同类概念、例子或结论。 |
一、韩老师讲数学
笔记范围：极限 → 定积分
§0 前言
- 自学、计算能力；
- 概念很重要；
- 求其上，得其中；求其中，得其下；求其下，必败。
§1 数列的极限
一、ε-N 定义
Def
设数列 \{a_n\}，A 是某一常数．若对 \forall \varepsilon > 0，\exists N > 0，当 n > N 时，总有 |a_n - A| < \varepsilon，则称 A 为 \{a_n\} 的极限，或称 \{a_n\} 收敛于 A ．记作 \lim\limits_{n \to \infty} a_n = A 或 a_n \to A\ (n \to \infty)
简写：\lim\limits_{n \to \infty} a_n = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0，\exists N > 0，当 n > N 时，|a_n - A| < \varepsilon
二、性质
（一）唯一性
Th
数列若有极限，则必唯一。
1、子列的定义
Def
给定数列 { a_n } ，从中任意地选取无限项，按原顺序组成的数列,称为数列 { a_n } 的一个子列。
2、子列的敛散性
Th
若数列 { a_n } 收敛，则其子列也收敛。且 \lim\limits_{k \to \infty} a_{n_k} = \lim\limits_{n \to \infty} a_{n}
（二）有界性
Def
对 \{a_n\}，若 \exists M>0，使 \forall a_n，均有 |a_n| \leq M，则称 \{a_n\} 有界。
若这样的 M 不存在，则称 \{a_n\} 无界。
注：
① 若 \exists M>0 ，对 \forall a_n ，均有 a_n \leq M ，则称 \{a_n\} 有上界， M 为 \{a_n\} 的一个上界。
② 若 \exists M>0 ，对 \forall a_n ，均有 a_n \geq -M ，则称 \{a_n\} 有下界， -M 为 \{a_n\} 的一个下界。
③ 若 a_n 有界 \Leftrightarrow a_n 同时有上下界。
Th
若数列收敛，则必有界。（反之未必成立）
即：若 \lim\limits_{n \to \infty} a_n = A，则 \exists M > 0，使 |a_n| \leq M
（三）保号性
Th
若 \lim\limits_{n \to \infty} a_n = A > 0 （或 <0 ），则 \exists N > 0 ，当 n > N 时，a_n > 0 （或 <0 ）
Cor
若 \{a_n\} 从某项起有 a_n > 0 （或 \leq 0 ），则 \lim\limits_{n \to \infty} a_n \geq 0 （或 \leq 0 ）．
加强形式： \{a_n\} 从某项起有 a_n > 0 （或 < 0 ），则 \lim\limits_{n \to \infty} a_n \geq 0 （或 \leq 0 ）
三、数列极限中的存在准则（审敛准则）
（一）迫敛定理（夹逼定理）
Th
对于数列 \{a_n\} ，如果当 n 足够大时始终满足 b_n \leq a_n \leq c_n ，且 \lim\limits_{n \to \infty} b_n = \lim\limits_{n \to \infty} c_n = A ，那么 \lim\limits_{n \to \infty} a_n = A
（二）单调有界准则
Th
单调有界数列必有极限
eg
设 \{x_n\} 满足 x_n > 0 ，且 \lim\limits_{n \to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{1}{2} ，则（）
A、\lim\limits_{n \to \infty} x_n = 0
B、\lim\limits_{n \to \infty} x_n 存在，但不为0
C、\lim\limits_{n \to \infty} x_n 不存在
D、\lim\limits_{n \to \infty} x_n 可能存在，也可能不存在
§2 函数的极限
一、函数极限的定义
（一） x → a
① y=x+1 ;
② y=\frac{x^2-1}{x-1}\left( x\ne 1 \right)
x → a 时，与 f\left( x \right) 在 x=a 处有没有定义无关，与 f\left( a \right) 无关
Def
( \varepsilon-\delta ). 对 \forall \varepsilon > 0，\exists \delta > 0 ，当 0 < |x - a| < \delta 时，恒有 |f(x) - A| < \varepsilon ．称 f(x) 当 x \to a 时， A 为极限．
记作 \lim\limits_{x \to a} f(x) = A ．或 f(x) \to A\ (x \to a) ．
Rem
a 的 \delta 去心邻域：\buildrel \circ \over U (a, \delta) ，简写 \buildrel \circ \over U (a)
a 的 \delta 去心右邻域：\{ x \mid 0 < x - a < \delta \} \buildrel \triangle \over = \mathring{U}_+ (a, \delta)
a 的 \delta 去心左邻域：\{ x \mid 0 < a - x < \delta \} \buildrel \triangle \over = \mathring{U}_- (a, \delta)
二、函数极限的性质
（一）唯一性
Def
函数有极限，则必唯一。
Prof
若 \lim\limits_{x \to a} f(x) = A，\lim\limits_{x \to a} f(x) = B 且 A \neq B，不妨设 A > B.
取 \varepsilon = \frac{A - B}{2} > 0.
\because \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \therefore \exists \delta_1 > 0，当 0 < |x - a| < \delta_1 时，
|f(x) - A| < \frac{A - B}{2} \iff \frac{A + B}{2} < f(x) < \frac{3A - B}{2} ①
又 \lim\limits_{x \to a} f(x) = B \therefore \exists \delta_2 > 0，当 0 < |x - a| < \delta_2 时，
|f(x) - B| < \frac{A - B}{2} \iff \frac{3B - A}{2} < f(x) < \frac{A + B}{2} ②
取 \delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}，则当 0 < |x - a| < \delta 时，
①②同时成立，矛盾，所以 A=B
eg
\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\int_0^x |\sin t| dt}{x}
（二）局部有界性
Th
若 \lim\limits_{x \to a} f(x) = A，则 \exists \delta > 0，M > 0，当 0 < |x - a| < \delta 时，|f(x)| \leq M.
Cor
单侧有界：
① 若 \lim\limits_{x \to a^+} f(x) = A，则 \exists \delta > 0，M > 0，当 0 < x - a < \delta 时，|f(x)| \leq M
② 若 \lim\limits_{x \to b^-} f(x) = A，则 \exists \delta > 0，M > 0，当 0 < b - x < \delta 时，|f(x)| \leq M
eg
证明：f(x) = \frac{|x| \sin(x - 2)}{x(x + 1)(x - 2)^2} 在区间 (-1, 0) 内有界．
Rem
补充知识：
① 初等函数在定义区间上连续的。
② 闭区间上的连续函数必有界。
（三）保号性
Th
\lim\limits_{x \to a} f(x) = A > 0\ ( < 0 )，则 \exists \delta > 0，当 0 < |x - a| < \delta 时，f(x) > 0\ (或 < 0)
Cor
若 f(x) > 0\ (x \to a)，则 \lim\limits_{x \to a} f(x) \geq 0